ВАРИАНТ 2

Ответы:
Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	
Ответ	-3	4	6	10	0,5	2	34	1	4	-5	6000	

12	13	14	15	
120	181	 

16	17	18	19	20	
	85/3	12,5  	а=2/√3  а=-2/√3
а=4/√3 а=-4/√3	а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.	

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ 14-20
14
а) Решите уравнение . 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Ответ:  

Содержание критерия	Баллы	
Обоснованно получены ответы в обоих пунктах	2	
Обоснованно получен верный ответ в пункте а или пункте б, 
ИЛИ 
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения уравнения и отбора корней	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0	
Максимальный балл	2	

15
Дан куб  ABCDA1B1C1D1 . 
а) Докажите, что прямая  BD1   перпендикулярна плоскости ACB1 . 
б) Найдите угол между плоскостями AD1C1  и A1D1C .

Решение.
Пусть сторона куба равняется 1. АС перпендикулярна BD,  BD – проекция наклонной BD1  на плоскость BCD. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах  BD1 перпендикулярно AC. Докажем, что BD1 перпендикулярна B1О.

Треугольники BKO и B1KD1 подобны. B1D1/BO=B1K/KO=D1K/KB=1/2. Пусть  KB=у и KO=х. Тогда D1K=2у и  B1K=2х. Треугольник ВВ1D1 прямоугольный. BB1=1, B1D1 =√2 
BD1=√3 , BD1=3y. Тогда у = √3/3. Треугольник ВВ1О прямоугольный. BB1=1, BО =√2/2. 
BD1=√(3/2) , BD1=3х. Тогда х = √6/6.  Т.к. , то треугольник B1KB прямоугольный.  Прямая BD1 перпендикулярно В1О.  Прямая BD1 перпендикулярна двум прямым AC и В1О в данной плоскости. Следовательно, BD1 перпендикулярна плоскости (СB1A). 
б) Найдите угол между плоскостями AD1C1  и A1D1C .
Найдем угол между данными плоскостями, как угол между прямыми, перпендикулярными к этим плоскостям.

B1A перпендикулярна плоскости A1D1C (т.к. B1A перпендикуляра A1B и BC), B1C перпендикулярна плоскости AD1C1 (т.к. B1C перпендикуляра BC1 и  BA). Угол CB1A искомый. Треугольник B1CA равносторонний (стороны являются диагоналями граней куба), следовательно, искомый угол 600.

Содержание критерия	Баллы		
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б	2		
Выполнен только один из пунктов а и б	1		
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0		
Максимальный балл	2		

16
Решите неравенство 

Ответ: 
Содержание критерия	Баллы	
Обоснованно получен верный ответ	2	
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0	
Максимальный балл	2	

17
Сторона  CD прямоугольника ABCD  касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD пересекает окружность в  точках P и Q, причем  точка P лежит между точками D и Q . Прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой BM. 
а) Докажите, что <DMP = <CBM. 

<DMP – угол между касательной  MD и секущей MP,  <DMP=<MQP=<MQD.
<CBM=<MQD (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей BQ), следовательно, <DMP=<CBM.

б)  Известно, что CM =17 и CD =32.  
AD = BC , OH=MD=15, OQ=CE=17. Из прямоугольного треугольника OHQ находим HD=8, DQ = DH+HQ=17+8=25. Треугольники  BCM и QDM подобные. Коэффициент подобия равен k=17/15. Следовательно, CM/MD=17/15. BC=AD=85/3.
Ответ: BC=AD=85/3
Содержание критерия	Баллы	
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3	
Получен обоснованный ответ в пункте б, 
ИЛИ 
имеется верное доказательство утверждения пункта а, и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2	
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, 
ИЛИ 
при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, 
ИЛИ 
обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0	
Максимальный балл	3	

18
Решение.
31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму S в кредит под некоторый процент годовых. Введем обозначение  ().
Если он будет платить каждый год по  328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. 31 декабря 2015 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит первый транш 
31 декабря 2016 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит второй транш 
31 декабря 2017 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит третий транш 
31 декабря 2018 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит третий транш 
Если он будет платить каждый год по 587 250 рублей, то за 2 года. 
31 декабря 2015 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит первый транш 
31 декабря 2016 года кредит под  а% процент годовых составляет . Олег переводит второй транш 
Под какой процент Олег взял деньги в банке?
Решим систему из двух уравнений: 

Содержание критерия	Баллы	
Обоснованно получен верный ответ	3	
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки 
ИЛИ 
получен верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2	
Верно построена математическая модель и решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение не завершено	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0	
Максимальный балл	3	

19
Найдите все значения a, при каждом из которых множество точек (x;y) удовлетворяющих условию  

будет иметь три общие точки с кривой, заданной уравнением 
Решение.

Данная система есть множество точек треугольника с вершинами в точках
(-2;0), (2;0),(0;2√3).

Линия- это окружность с центром в точке (0;2/√3) и радиусом  │а│. Три общие  точки эти линии будут иметь ровно в двух случаях: когда окружность вписана в треугольник и описана около треугольника.
Заметим, что треугольник ABC равносторонний со стороной равной 4. 

Радиус вписанной окружности равен │а│=2/√3, а=2/√3 и  а=-2/√3.
Радиус описанной окружности равен │а│=4/√3, а=4/√3 и  а=-4/√3.
Содержание критерия	Баллы	
Обоснованно получен верный ответ	4	
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением лишних точек 	3	
Правильно описано множество точек, удовлетворяющих условию задачи, найдены 2 варианта, но решение не доведено до конца.	2	
Правильно построено множество точек, удовлетворяющих условию задачи	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0	
Максимальный балл	4	

20
Коля умножил некоторое натуральное число на соседнее натуральное число, и получил произведение, равное m. Вова умножил некоторое четное натуральное число на соседнее четное натуральное число и получил произведение, равное n.
а) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 6?
б) Может ли модуль разности чисел m и n равняться 13?
в) Какие значения может принимать модуль разности чисел m и n?
Решение.
а) Да, например, Коля умножил  на  получив  а Вова умножил  на  получив  Модуль разности полученных произведений равен 
б) Заметим, что произведение последовательных чисел всегда четно, так как одно из них четно. Таким образом, Колино произведение будет четным. Вовино же произведение четно в силу того, что он перемножает два четных числа. Значит, и модуль разности чисел  и  будет четным, таким образом, он не может быть равен 
в) Как было показано в пункте б) модуль разности будет четным. Покажем, что он не может быть равен нулю. Пусть Коля перемножал числа  и  а Вова ― числа  и  Тогда, если модуль разности их произведений равен нулю, имеем:

 
Заметим, что  так как  С другой стороны,  так как 
Итак,  но натуральное число не может лежать между двумя соседними натуральными числами. Значит, модуль разности не может равняться  Тогда он не меньше  так как четен.
Покажем, что он может принимать любое четное натуральное значение. Пусть Коля умножил четное число  на  а Вова умножил  на  Тогда модуль разности их произведений равен:

 
ввиду того, что  ― любое четное натуральное число, то искомый модуль разности может принимать любое четное натуральное значение.
 
Ответ: а) да; б) нет; в) все четные натуральные числа.
Содержание критерия	Баллы	
Верно выполнены: а, б, в(доказано, что не меньше двух), в(любое четное)	4	
Верно выполнены три пункта из четырёх: а, б, в(доказано, что не меньше двух), в(любое четное)	3	
Верно выполнены два пункта из четырёх: а, б, в(доказано, что не меньше двух), в(любое четное)	2	
Верно выполнен один пункт из четырёх: а, б, в(доказано, что не меньше двух), в(любое четное)	1	
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0	
Максимальный балл	4